📊 描述統計

什麼是描述統計？

描述統計（Descriptive Statistics）是統計學最基礎也最重要的一環。它的目標很單純：用少數幾個數值，摘要一整組資料的特徵。在你跑任何推論統計（t 檢定、ANOVA、迴歸）之前，描述統計永遠是第一步——它幫助你瞭解資料的「長相」。

集中趨勢：平均值、中位數、眾數

平均值（Mean）是所有觀測值的總和除以個數，最直覺也最常用。但它有個致命弱點：對極端值（outlier）極度敏感。假設你的實驗有 10 個樣本，其中 9 個數值都落在 50 左右，但第 10 個因為量測誤差跑到 500，平均值會被嚴重拉高，完全無法代表多數樣本的狀況。

中位數（Median）是排序後正中間的那個值。它不受極端值影響，所以當資料呈偏態分佈時，中位數比平均值更能代表「典型值」。臨床研究中報告存活時間常用中位數，正是因為少數活很久的病人會讓平均存活時間膨脹。

眾數（Mode）是出現次數最多的值，在類別資料中特別有用。連續型資料的眾數意義較小，但如果你的直方圖出現雙峰（bimodal），這可能暗示資料來自兩個不同的母群體。

離散程度：標準差、變異數、全距

標準差（Standard Deviation, SD）衡量資料點離平均值有多遠。SD 越大，資料越分散。在常態分佈下，約 68% 的資料落在平均值 ± 1 SD 內，95% 落在 ± 2 SD 內。這就是為什麼很多品管標準設在「超過 2 SD 就要注意」。

變異數（Variance）就是標準差的平方。數學上比較好操作（可加性），但因為單位被平方了，解讀起來不如 SD 直覺。

全距（Range）= 最大值 - 最小值，是最簡單的離散指標。缺點是只看兩個極端值，完全忽略中間資料的分佈。

四分位數與箱型圖

四分位數把排序後的資料切成四等份：Q1（25th 百分位）、Q2（即中位數，50th）、Q3（75th）。四分位距（IQR）= Q3 - Q1，代表中間 50% 資料的範圍。

箱型圖（Box Plot）以視覺方式呈現這些資訊：箱子的上下邊是 Q3 和 Q1，箱中線是中位數，鬚（whisker）延伸到 1.5 × IQR 範圍內的最遠資料點，超出鬚的點則被標記為潛在離群值。當你需要比較多組資料的分佈時，並排箱型圖是最高效的視覺化方式。

如何解讀結果

拿到描述統計結果後，你應該問自己幾個關鍵問題：

1. 平均值和中位數差多少？如果兩者很接近，資料大致對稱。如果平均值遠大於中位數，資料右偏（positive skew）；反之則左偏。偏態嚴重時，你後續選擇的檢定方法可能需要調整（例如用無母數檢定取代 t 檢定）。
2. SD 相對於平均值大不大？變異係數（CV = SD / Mean × 100%）可以幫你判斷。CV 超過 30% 通常代表資料變異偏大，你需要考慮是否有系統性誤差或分群效應。
3. 有沒有離群值？箱型圖上超出鬚的點不一定是錯誤，但值得你逐一檢查。它可能是量測失誤、資料輸入錯誤，也可能是真實的生物變異——決定保留或移除之前，一定要有合理的理由。
4. 樣本數夠嗎？n 很小（< 10）時，所有統計量的穩定性都會下降。報告時一定要附上 n，讓讀者自行判斷信賴程度。

常見問題

SD 和 SEM 有什麼不同？

這是初學者最常混淆的概念。SD（標準差）描述的是「個別觀測值的離散程度」，反映資料本身的變異。SEM（標準誤，Standard Error of the Mean）= SD / √n，描述的是「樣本平均值的不確定性」，反映你對母群平均值的估計精度。

實務上的差別：用 SD 畫誤差棒，讀者看到的是「資料有多分散」；用 SEM 畫誤差棒，看到的是「平均值估計有多精確」。SEM 會隨 n 增大而縮小（因為分母有 √n），所以用 SEM 畫圖會讓誤差棒看起來比較短，容易誤導讀者以為變異很小。論文審查中，建議明確標示你用的是 SD 還是 SEM。

偏態資料能用平均值嗎？

技術上可以計算，但解讀上可能誤導。例如薪資分佈典型右偏，少數高薪者會把平均值拉高。這時報告中位數更有代表性。如果你非得用平均值，至少同時報告中位數讓讀者判斷偏態程度。

我的資料是常態分佈嗎？

描述統計本身不假設常態分佈，但你後續要做的 t 檢定或 ANOVA 通常有此假設。快速判斷方式：(1) 看直方圖或 Q-Q plot 的形狀；(2) 比較平均值和中位數的距離；(3) 偏度（skewness）絕對值超過 1 通常被認為明顯偏態。正式檢定可用 Shapiro-Wilk test，但樣本數大時它會對微小偏離過度敏感。

報告時的寫法建議

學術論文中，描述統計通常寫為：Mean ± SD（或 Median [IQR]），並附上 n。例如：「受試者年齡為 45.3 ± 12.1 歲（n = 86）」或「住院天數中位數為 7 天 [IQR: 4–12]」。選擇哪種格式取決於資料的分佈特性。